Radian (rad)
Definition, härledning och praktisk användning inom det internationella enhetssystemet
Plan vinkel anger hur mycket två linjer lutar mot varandra, eller hur långt något har vridits runt en punkt. I vardagen mäts vinklar i grader, men i matematik, fysik och programmering är det radianen (rad) som gäller. Radianen är en av de härledda SI-enheterna och den enda vinkelenhet som SI-systemet själv definierar.
Radianen är ovanlig bland SI-enheterna eftersom den är dimensionslös: den är kvoten mellan två längder. Som för metern och kilogrammet är det ändå nödvändigt att skilja mellan definition, realisering och praktisk användning.
Definition av radian i SI-systemet
Radian definieras inom det internationella enhetssystemet (SI) som:
den plana vinkeln mellan två radier i en cirkel som på cirkelns periferi skär ut en båge vars längd är lika med radien.
I formelform: 1 rad = 1 m/m = 1. En vinkel i radianer är alltså båglängden delad med radien, θ = s/r. Definitionen vilar på:
- metern, eftersom både båglängden och radien är längder,
- cirkelns geometri, där ett helt varv ger båglängden 2πr och därmed vinkeln 2π rad.
Eftersom ett helt varv är 2π rad och samtidigt 360° gäller att 1 rad = 180°/π ≈ 57,29578° och att 1° = π/180 rad ≈ 0,017453 rad.
Faktaruta: Radianens historia
| År | Händelse |
| 1714 | Roger Cotes beskriver vinkeln som en båge delad med radien, idén bakom radianen. |
| 1873 | Ordet radian förekommer för första gången i tryck, i tentamensfrågor av James Thomson vid Queen’s College i Belfast. |
| 1960 | Den 11:e generalkonferensen för mått och vikt (CGPM) inför SI-systemet och placerar radian och steradian i en egen klass, de kompletterande enheterna. |
| 1980 | Internationella kommittén för mått och vikt (CIPM) tolkar de kompletterande enheterna som dimensionslösa härledda enheter. |
| 1995 | Den 20:e CGPM avskaffar klassen kompletterande enheter. Radianen blir en härledd SI-enhet med eget namn. |
Hur mycket är en radian?
En radian är ungefär 57,3 grader, alltså lite mindre än en sjättedel av ett varv. En rät vinkel är π/2 ≈ 1,5708 rad, ett halvt varv är π ≈ 3,1416 rad och ett helt varv är 2π ≈ 6,2832 rad. Ett helt varv rymmer alltså drygt sex radianer.
Små vinklar anges ofta i milliradianer. En milliradian (1 mrad = 0,001 rad) är ungefär den vinkel som en meter upptar på en kilometers avstånd. Det militära vinkelmåttet streck (NATO) delar varvet i 6 400 delar och ligger nära en milliradian, medan ett helt varv rymmer drygt 6 283 milliradianer.
Definition, realisering och användning
- Definitionen anger vad en radian är i principiell mening: en båge lika lång som radien.
- Realiseringen avser de vinkelmätare och vinkelnormaler med vilka metrologiinstitut och kalibreringslaboratorier mäter vinklar spårbart.
- Användningen avser trigonometri, rotationsrörelse, svängningar, lantmäteri och programmering, där nästan alla matematiska funktioner räknar i radianer.
Radianen behövs inom matematiken eftersom formlerna blir enkla med den. Derivatan av sin x är cos x bara när x anges i radianer, och för små vinklar gäller sin θ ≈ θ.
Hur radian realiseras
Radianen har ingen fysisk prototyp och ingen naturkonstant i sin definition. Vinkelmätning har i stället en egenskap som ingen annan storhet har: ett helt varv är alltid exakt 2π rad. Genom att dela in cirkeln och jämföra delarna med varandra, så kallad cirkelslutning, kan en vinkelmätare kalibreras utan någon yttre referens.
Nationella metrologiinstitut använder vinkelkomparatorer med roterande bord, optiska polygoner och autokollimatorer. Med dem når de mätosäkerheter långt under en bågsekund. Kalibreringslaboratorier för vinkelgivare, teodoliter och vattenpass spårar sina mätningar till dessa normaler.
Praktisk mätning och felkällor
I praktiken mäts vinklar med gradskivor, vinkelgivare, teodoliter och lutningsmätare. Det vanligaste felet är ändå inte mätningen utan omräkningen:
- Fel läge på räknaren: en miniräknare i läget DEG tolkar sin(1) som sinus för en grad, i läget RAD som sinus för en radian. Svaren blir 0,017452 respektive 0,841471.
- Avrundat π: med π = 3,14 blir ett helt varv 6,28 rad i stället för 6,283185 rad. Det ger ett fel på omkring 0,05 procent.
- Olika streck: NATO:s streck är 1/6 400 varv, det äldre svenska strecket 1/6 300 varv och milliradianen 1/1 000 rad. De är nästan lika stora men inte utbytbara.
Radian och andra enheter
Radianen kopplar samman vinkel med flera andra storheter i SI-systemet:
| Enhet | Storhet | Samband med radian |
| meter (m) | Båglängd | s = r · θ |
| hertz (Hz) | Vinkelfrekvens | ω = 2π · f, i rad/s |
| joule (J) | Arbete vid vridning | W = M · θ |
| newton (N) | Vridmoment | M = F · r, i newtonmeter |
| steradian (sr) | Rymdvinkel | Den tredimensionella motsvarigheten, 1 sr = 1 m²/m² |
| candela (cd) | Ljusstyrka | Definieras per steradian |
Radianer till grader och andra omvandlingar
För att räkna om radianer till grader multiplicerar du med 180/π, och för att räkna om grader till radianer multiplicerar du med π/180. 2 rad blir alltså 114,59156°, och 45° blir 0,785398 rad. Omvandlaren för radian till grad och den omvända för grad till radian visar formeln och en hel tabell.
Hela vinkelkategorin räknar också om mellan varv, grader, bågminuter, bågsekunder, gon och streck. För skolan finns en skrivbar omvandlingstabell för vinkel, och för rotation räknar omvandlaren för frekvens om mellan varv per minut och hertz.
Sammanfattning
Radian är SI-enheten för plan vinkel och definieras som vinkeln vars båge är lika lång som radien. Ett helt varv är 2π rad, och en radian är ungefär 57,3 grader.
Enheten saknar dimension men inte betydelse. Det är radianen som gör trigonometrins formler enkla, som anger vinkelhastighet i rad/s och som datorprogram räknar med, även när svaret till slut ska visas i grader.